[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 积分不等式 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \cfrac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f‘(x)]^2\rd x -\cfrac{1}{2}\int_a^b [f‘(x)]^2 (x-a)^2\rd x. \eex$$

证明: $$\beex \bea \int_a^b f^2(x)\rd x &=\int_a^b \sez{\int_a^xf‘(t)\rd t}^2\rd x\\ &\leq \int_a^b \sez{ \int_a^x f‘^2(t)\rd t \cdot \int_a^x 1^2\rd t }\rd x\\ &=\int_a^b \int_a^x (x-a)f‘^2(t)\rd t\rd x\\ &=\int_a^b \int_t^b (x-a)f‘^2(t)\rd x\rd t\\ &=\int_a^b f‘^2(t)\int_t^b (x-a)\rd x\rd t\\ &=\int_a^b f‘^2(t)\cfrac{(b-a)^2-(t-a)^2}{2}\rd t. \eea \eeex$$

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 积分不等式 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])

时间： 2024-03-09 03:20:28

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(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,\infty],\ \cfrac{1}{p}=\cfrac{1}{p_1}+\cfrac{1}{p_2}=\cfrac{1}{r_1}+\cfrac{1}{r_2}\\ &\ra \sen{fg

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$$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{\n f}_{W^{1,q}}+\sen{f}_{L^\infty}} }. \eex$$ $$\bex m\geq 3\ra \sen{\n f}_{L^\infty}\leq C\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2} \sex{1+\sen{\n f}_{H^

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