洛谷OJ P1045 麦森数 解题报告

by MedalPluS

  题目描述

形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
　　任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）

  输入描述

  文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）

  输出描述
  第一行：十进制高精度数2^P-1的位数。
  第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2^P-1与P是否为素数。

  分析

  首先2^p-1的位数可以通过换底公式得到，即log₁₀2^p+1 通过换底公式可以转换为log₂/log₁₀*p+1

然后就是高精度的过程

但注意，直接模拟的话会TLE，想一想为什么？因为直接模拟的复杂度应为500*500*3100000简直就是天文数字。。

那么怎么优化呢？

1.FFT优化高精度乘法，即降至500*8*3100000还是有TLE的风险

2.快速幂优化求幂，即降至500*8*19完全可以无压力AC

加上FFT代码太长，这里不贴了。。但不过只用快速幂是可以AC的

  代码

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 using namespace std;
 5
 6 const int maxn=50001;
 7
 8 //求2^p-1 高精度乘法&高-单 &快速幂
 9
10 int ans[maxn],a[maxn],p;
11 int test1[maxn],test2[maxn];
12 int c[maxn];
13
14 void mult(int a[],int b[]){
15     int len,i,j,tmp,k=0;
16     memset(c,0,sizeof(c));
17     for(i=1;i<=a[0];i++){
18       for(j=1;j<=b[0];j++)
19       {
20           tmp=a[i]*b[j]+k;
21           c[i+j-1]+=tmp%10;
22           k=tmp/10+c[i+j-1]/10;
23           c[i+j-1]%=10;
24       }
25       len=i+j-2;
26       while(k!=0)
27       {
28         c[++len]+=k%10;
29         k=k/10+c[len]/10;
30         c[len]%=10;
31       }
32     }
33     c[0]=min(len,500);
34     for(i=500;i>=0;i--)
35       a[i]=c[i];
36 }
37
38 void qmult(){
39     ans[ans[0]=1]=1;
40     a[a[0]=1]=2;
41     while(p){
42         if(p&1)mult(ans,a);
43         p>>=1;
44         mult(a,a);
45     }
46 }
47
48 void dele(){
49     int i=1;
50     while(1){
51         if(ans[i]-1>=0)
52         {
53           ans[i]--;
54           break;
55         }
56         ans[i]=(ans[i]+9)%9;
57         i++;
58     }
59 }
60
61 void out(){
62     int i,t=0;
63     for(i=500;i>=1;i--){
64         cout<<ans[i];
65         t++;
66         if(t%50==0)cout<<endl;
67     }
68 }
69
70 int main(){
71     scanf("%d",&p);
72     cout<<(int)(log(2)/log(10)*p+1)<<endl;
73     qmult();
74     dele();
75     out();
76     return 0;
77 }