深坑之---数学

本学期的数学生涯正式开始，第一个进军的毫无疑问是数论。

现在还属于学习和消化阶段，写这样零散地整理知识点，以后再总结。

1. 模算术 （ 快速幂取模 ）

//在O(logn)的时间复杂度完成 a^b % m 的计算

//另外还有模算术

(a+b)%c =( a%c + b%c ) %c

(a-b)%c =( a%c - b%c + c) %c

(ab)%c  = (a%c)(b%c) % c

LL fast_mod(LL a,LL b,LL n)
{
    LL ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans = ans*a % n;
        a = (a%n) * (a%n) % n;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

先记录下我做的两道题目

a.HDU 3003  简直不能再坑，题目读了老半天还是没搞懂题目的意思。。。。

题目大意:一种动物有n层皮肤，每层皮肤都有两种状态，透明或者不透明，透明的皮肤光照一天变为不透明，不透明的皮肤光照一天变为透明光可以透过透明的皮肤照射到下一层。 刚出生的动物所有层的皮肤都是不透明的，每层皮肤都变过透明，则这只动物长大成人。(特别注意是变过，，而不是所有成都一起变透明)问，给定一个N，表示N层皮肤，问第几天可以长大成人，得数MOD上N、题解：如果这样的话，可以推算出公式 ans = 2^(n-1) + 1 结果 mod n， 那么，这题就是一个很裸很裸的快速幂取模了。。

 1 /* ***********************************************
 2 Problem       :HDU3003
 3 File Name     :
 4 Author        :
 5 Created Time  :2014-09-09 20:29:58
 6 ************************************************ */
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 typedef long long LL;
11 using namespace std;
12 int n;
13
14 LL fast_mod(LL a,LL b,LL n)
15 {
16     LL ans = 1;
17     while(b)
18     {
19         if(b&1) ans = ans*a % n;
20         a = (a%n) * (a%n) % n;
21         b >>= 1;
22     }
23     return ans;
24 }
25
26 int main()
27 {
28     while(~scanf("%d",&n) && n)
29     {
30         int ans = (fast_mod(2,n-1,n) + 1 ) % n;
31         printf("%d\n",ans);
32     }
33     return 0;
34 }

代码君思密达

b.Uva11582 - Colossal Fibonacci Numbers! ( 快速幂取模 + 打表 ) 

题目大意: 对于斐波那契数列来说，f[i] = f[i-1] + f[i-2];现在问对于一个很大的数num = a^b ， f[num] % n等于多少。输入 a b n 输出 f[num] % n题解：因为全部是对n取模令F[i] = f[i]%n余数最多有n种，所以循环节最长是n^2，紫书是这样说的，具体证明不会。

 1 /* ***********************************************
 2 Problem       :11582 - Colossal Fibonacci Numbers!
 3 File Name     :
 4 Author        :
 5 Created Time  :2014-09-09 20:29:58
 6 ************************************************ */
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 #include <vector>
11 using namespace std;
12 typedef unsigned long long ull;
13
14 vector<int> fib[1005];
15 int period[1005];
16 int t,n;
17 ull a, b;
18
19 void init()
20 {
21     for(int i=2;i<=1000;i++)
22     {
23         fib[i].push_back(0);
24         fib[i].push_back(1);
25         for(int j=2;;j++)
26         {
27             int t = (fib[i][j-1] % i + fib[i][j-2] % i) % i;
28             fib[i].push_back(t);
29             if(fib[i][j] == 1 && fib[i][j-1] == 0)  //出现循环节,总数为j-1
30             {
31                 period[i] = j - 1;
32                 break;
33             }
34         }
35     }
36 }
37
38 int q_pow_mod(ull a,ull b,int m)
39 {
40     int ans = 1;
41     while(b)
42     {
43         if(b&1) ans = (int)((ans*a) % m);
44         a = (a%m) * (a%m) % m;
45         b >>= 1;
46     }
47     return ans;
48 }
49
50 int main()
51 {
52     freopen("1.txt","r",stdin);
53     init();
54     scanf("%d",&t);
55     while(t--)
56     {
57         scanf("%llu %llu %d",&a,&b,&n);
58         if(a == 0 || n == 1) printf("0\n");
59         else
60         {
61             int k = q_pow_mod(a%period[n], b, period[n]);
62             printf("%d\n",fib[n][k]);
63         }
64     }
65     return 0;
66 }

很萌的代码君