树形结构

线性结构、树型结构、图状结构和纯集合结构作为数据的四种结构，树型结构是一类重要的非线性结构。

以二叉树为例了解一下树型结构的基本性质及用法：

二叉树：

每个节点至多有两棵子树，左子树和右子树，次序不可颠倒

非空二叉树的第n层至多有2^(n-1)个结点

深度为h的二叉树至多有2^h - 1 个结点

完美二叉树（满二叉树）的结点个数为2^h - 1

完全二叉树的第h层的结点都集中在左边

完美二叉树本身也是完全二叉树

对于完全二叉树，设一个结点（非根结点）编号为 i ，则其父亲结点编号为 i / 2 ， 其左子结点编号为 2 * i ， 右子结点编号为 2 * i + 1

叶子结点的个数等于度为2的结点个数 + 1

同理：

m叉树的叶子结点个数n0,有一个儿子的结点个数n1，有两个儿子的结点个数n2，有三个儿子的结点个数n3……有m个儿子的结点个nm之间存在什么关系？

n0 + n1 + n2 + …… nm - 1 = 0 * n0 + 1 * n1 + 2 * n2 + 3 * n3 + 4 * n4 + …… m * nm

所以： n0 - 1 = n2 + 2 * n3 + 3 * n4 + …… + (m-1) * nm

存储结构：

　　顺序存储：

　　完全二叉树可以用数组来实现，一般二叉树如果采用这种存储方式，空间代价较高

　　数组实现二叉树的顺序存储代码：

typedef struct Node {
    int data ;
    int lchild , rchild ;
    int father ;
}Node ;

Node btree[1000] ;

　　链式存储：

typedef struct Node {
    int data ;
    struct Node * lchild ;
    struct Node * rchild ;
}Node ;

Node *new_Node() {
    Node * newnode = new Node ;
    newnode->data = 0 ;
    newnode->lchild = NULL ;
    newnode->rchild = NULL ;
    return newnode ;
}

二叉树的遍历：

遍历即二叉树的所有结点访问一遍，根据访问根结点的顺序分为：先序遍历、中序遍历和后续遍历：

先序遍历： 根结点 -> 左子树 -> 右子树

中序遍历： 左子树 -> 根结点 -> 右子树

后序遍历： 左子树 -> 右子树 -> 根结点

先序遍历：1 -> 2 -> 4 -> 5 -> 7 -> 3 -> 6 -> 8

中序遍历：4 -> 2 -> 5 -> 7 -> 1 -> 3 -> 8 -> 6

后序遍历：4 -> 7 -> 5 -> 2 -> 8 -> 6 -> 3 -> 1

遍历的递归实现：

#include<iostream>
#include<stdio.h>

using namespace std ;

typedef struct Node {
    int data ;
    struct Node * lchild ;
    struct Node * rchild ;
}Node ;

Node *new_Node() {
    Node * newnode = new Node ;
    newnode->data = 0 ;
    newnode->lchild = NULL ;
    newnode->rchild = NULL ;
    return newnode ;
}

typedef Node *node ;

Node *CreatebinTree()    {
    int a ;
    Node *T ;
    cin >> a ;
    if(a == 0)
        return NULL ;
    else    {
        T = new_Node() ;
        T->data = a ;
        T->lchild = CreatebinTree() ;
        T->rchild = CreatebinTree() ;
    }
    return T ;
}

void preorder(node T)    {
    if(T)    {
        if(T->data != 0)
            cout << T->data << " " ;
        preorder(T->lchild) ;
        preorder(T->rchild) ;
    }
}

int main()    {
    freopen("in.txt","r",stdin) ;
    Node * root = CreatebinTree() ;
    preorder(root) ;
    return 0 ;
}

//  输入数据：
//  1 2 4 0 0 5 0 7 0 0 3 0 6 8 0 0 0