无向图割边割点算法
而当(u,v)为树边且low[v]>dfn[u]时，表示v节点只能通过该边(u,v)与u连通，那么(u,v)即为割边。
1 void dfs(int u) {
2 //记录dfs遍历次序
3 static int counter = 0;
4
5 //记录节点u的子树数
6 int children = 0;
7
8 ArcNode *p = graph[u].firstArc;
9 visit[u] = 1;
10
11 //初始化dfn与low
12 dfn[u] = low[u] = ++counter;
13
14 for(; p != NULL; p = p->next) {
15 int v = p->adjvex;
16
17 //节点v未被访问，则(u,v)为树边
18 if(!visit[v]) {
19 children++;
20 parent[v] = u;
21 dfs(v);
22
23 low[u] = min(low[u], low[v]);
24
25 //case (1)
26 if(parent[u] == NIL && children > 1) {
27 printf("articulation point: %d\n", u);
28 }
29
30 //case (2)
31 if(parent[u] != NIL && low[v] >= dfn[u]) {
32 printf("articulation point: %d\n", u);
33 }
34
35 //bridge
36 if(low[v] > dfn[u]) {
37 printf("bridge: %d %d\n", u, v);
38 }
39 }
40
41 //节点v已访问，则(u,v)为回边
42 else if(v != parent[u]) {
43 low[u] = min(low[u], dfn[v]);
44 }
45 }
46 }
边双联通分量算法
对于一个无向图的子图，当删除其中任意一个点后，不改变图内点的连通性，这样的子图叫做点的双连通子图。而当子图的边数达到最大时，叫做点的双连通分量。
直观的做法自然先用上周的算法求出所有桥，去掉所有桥之后再做DFS求出每一个连通子图。我们这周要介绍一种更"抽象"的算法，通过在Tarjan算法当中巧妙地用一个栈来统计出每一个组内的节点，其代码如下：
1 void dfs(int u) {
2 //记录dfs遍历次序
3 static int counter = 0;
4
5 //记录节点u的子树数
6 int children = 0;
7
8 ArcNode *p = graph[u].firstArc;
9 visit[u] = 1;
10
11 //初始化dfn与low
12 dfn[u] = low[u] = ++counter;
13
14 //将u加入栈
15 stack[++top] = u;
16
17 for(; p != NULL; p = p->next) {
18 int v = p->adjvex;
19
20 //节点v未被访问，则(u,v)为树边
21 if(!visit[v]) {
22 children++;
23 parent[v] = u;
24 dfs(v);
25
26 low[u] = min(low[u], low[v]);
27 if (low[v] > dfn[u]) {
28 printf("bridge: %d %d\n", u, v); // 该边是桥
29 bridgeCnt++;
30 }
31 }
32
33 //节点v已访问，则(u,v)为回边
34 else if(v != parent[u]) {
35 low[u] = min(low[u], dfn[v]);
36 }
37 }
38
39 if (low[u] == dfn[u])
40 {
41 // 因为low[u] == dfn[u]，对(parent[u],u)来说有dfn[u] > dfn[ parent[u] ]，因此low[u] > dfn[ parent[u] ]
42 // 所以(parent[u],u)一定是一个桥，那么此时栈内在u之前入栈的点和u被该桥分割开
43 // 则u和之后入栈的节点属于同一个组
44 将从u到栈顶所有的元素标记为一个组，并弹出这些元素。
45 }
46 }
强连通分量
对于有向图上的2个点a,b，若存在一条从a到b的路径，也存在一条从b到a的路径，那么称a,b是强连通的。 对于有向图上的一个子图，若子图内任意点对(a,b)都满足强连通，则称该子图为强连通子图。 非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。 特别地，和任何一个点都不强连通的单个点也是一个强连通分量。
1 tarjan(u)
2 {
3 Dfn[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
4 Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
5 for each (u, v) in E // 枚举每一条边
6 if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
7 tarjan(v) // 继续向下找
8 Low[u] = min(Low[u], Low[v])
9 else if (v in Stack) // 如果节点v还在栈内(很重要,无向图没有这一步)
10 Low[u] = min(Low[u], Dfn[v])
11 if (Dfn[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
12 repeat
13 v = Stack.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
14 mark v // 标记v，同样通过栈来找连通分量
15 until (u == v)
16 }
scc + 缩点 + topo
点的双连通分量
对于一个无向图的子图，当删除其中任意一个点后，不改变图内点的连通性，这样的子图叫做点的双连通子图。而当子图的边数达到最大时，叫做点的双连通分量。
对于桥的两种情况，它分割个区域数刚好就等于割点数+1；而连通分量内的割点同样也是，每存在一个割点，点的双连通分量就增加一个。
点的双连通分量就等于割点数量加1。
每存在一个割点，就把一个区域一分为二，所以最后的结果也就是统计割点的数量就可以了。而对于分组具体情况，我们仍然采用栈来辅助我们记录
1 void dfs(int u) {
2 //记录dfs遍历次序
3 static int counter = 0;
4
5 //记录节点u的子树数
6 int children = 0;
7
8 ArcNode *p = graph[u].firstArc;
9 visit[u] = 1;
10
11 //初始化dfn与low
12 dfn[u] = low[u] = ++counter;
13
14 for(; p != NULL; p = p->next) {
15 int v = p->adjvex;
16 if(edge(u,v)已经被标记) continue;
17
18 //节点v未被访问，则(u,v)为树边
19 if(!visit[v]) {
20 children++;
21 parent[v] = u;
22 edgeStack[top++] = edge(u,v); // 将边入栈
23 dfs(v);
24
25 low[u] = min(low[u], low[v]);
26
27 //case (1)
28 if(parent[u] == NIL && children > 1) {
29 printf("articulation point: %d\n", u);
30 // mark edge
31 // 将边出栈，直到当前边出栈为止，这些边标记为同一个组
32 do {
33 nowEdge = edgeStack[top];
34 top--;
35 // 标记nowEdge
36 } while (nowEdge != edge(u,v))
37 }
38
39 //case (2)
40 if(parent[u] != NIL && low[v] >= dfn[u]) {
41 printf("articulation point: %d\n", u);
42 // mark edge
43 // 将边出栈，直到当前边出栈为止，这些边标记为同一个组
44 do {
45 nowEdge = edgeStack[top];
46 top--;
47 // 标记nowEdge
48 } while (nowEdge != edge(u,v))
49 }
50
51 }
52
53 //节点v已访问，则(u,v)为回边
54 else if(v != parent[u]) {
55 edgeStack[top++] = edge(u,v);
56 low[u] = min(low[u], dfn[v]);
57 }
58 }
59 }
时间： 2024-02-27 19:24:00